در سراسر این پایان‌نامه، تمامی حلقه ها شرکت‌پذیر هستند و عنصر همانی دارند و تمامی مدول‌ها یکانی راست هستند، مگر اینکه غیر از آن بیان شود.

یک – مدول راست  اول نامیده می شود هرگاه  ، و  برای هر زیرمدول غیر صفر  از .

منظور از زیرمدول اول از – مدول راست ، زیرمدولی مانند  است به طوری که  اول باشد.

مدول‌های اول و زیرمدول‌های اول مدول‌ها در سی سال اخیر به طور فراوان مورد مطالعه قرار گرفته‌اند. مطالعه مدول‌های دوم و زیرمدول‌های دوم مدول‌ها موضوع جدیدتری است. حال به مفهوم دوگان مدول اول، یعنی مدول‌ دوم می‌پردازیم.

یک – مدول راست ، دوم نامیده می شود هرگاه  و  برای هر زیرمدول محض  از . توجه شود که در بعضی موارد، مدول دوم را هم‌اول نیز می‌نامند.

همچنین دوگان زیرمدول اول، یعنی زیرمدول دوم را تعریف می‌کنیم.

منظور از زیرمدول دوم یک مدول، زیرمدولی است که خود، مدول دوم باشد.

مدول‌های دوم و زیرمدول‌های دوم، اولین بار توسط دکتر یاسمی روی حلقه‌های جابجایی در منبع  در سال 2001 معرفی شده است.

فرض کنید یک حلقه جابجایی و  یک  مدول غیر صفر باشد. برای هر عنصر  از حلقه  فرض کنیم  یک درون‌ریختی مدول  باشد که به صورت

خرید متن کامل این پایان نامه در سایت nefo.ir

  تعریف می‌شود.

به سادگی می‌توان دید که  اول است اگر و تنها اگر به ازای هر  داشته باشیم  یا اینکه  یک تکریختی باشد. به عبارت دیگر ، اول است اگر و تنها اگر برای هر  در حلقه و به ازای هر  عضو ، اگر داشته باشیم آنگاه  یا .

همچنین به سادگی می‌توان مشاهده کرد – مدول  دوم است اگر و تنها اگر برای هر  داشته باشیم  یا  یک بروریختی  باشد.

به بیان دیگر،  دوم است اگر و تنها اگر برای هر   عضو ،  یا .

هدف از این پایان‌نامه، مطالعه مدول‌های دوم در سایه مدول‌های اول است.

توجه داشته باشید اگر یک حلقه و  یک – مدول راست دوم باشد، آنگاه  یک ایده‌آل اول است. در این حالت برای راحتی کار  را یک مدول – دوم می خوانیم.

توجه داشته باشید که مدول‌های ساده، اول و دوم هستند. در حالت کلی تر،  ما مدول  را نیم ساده همگن می نامیم، در صورتی که برابر حاصل‌جمع مستقیم زیرمدول‌های ساده یکریخت باشد. به سادگی می‌توان دید که مدول‌های نیم ساده همگن، اول و دوم هستند.