یکی از شاخه­های مهم و تخصصی علم مهندسی، شناسایی مشخصات فیزیکی و هندسی درون اجسام است. از مسائل شناسایی می­توان به شناسایی مدول الاستیسیته و نسبت پواسون مربوط به ناخالصی­های درون اجسام، شکل و موقعیت ریز حفره­ها، مرز بین اجسام ناهمگن و غیره اشاره کرد. روش­های غیر مخربی مانند تست رادیوگرافی به دلیل هزینه بالا برای تولیدات در حجم زیاد، اقتصادی نمی­باشند و استفاده از روش­های دیگر همچون تست­های غیر مخرب همچون آزمایش کشش، انتقال حرارت، ارتعاشات و غیره امروز رو به توسعه است. از آنجا که طبیعت حاکم بر این گونه مسائل غیر خطی و بدخیم می­باشد، از ترکیب یک روش عددی برای حل معادله دیفرانسیل حاکم بر مساله و روش­های دیگر برای بهینه کردن تابع معکوس استفاده می­شود.

همانطور که در بالا اشاره شد همواره یکی از تلاش­های مهندسین تعیین ساختار داخلی اجسام به روش­های غیر مخرب بوده است که به واسطه پیچیدگی ذاتی، تحلیل مشخصات درونی مواد معمولا با استفاده از تقریبات متعدد انجام می­شود. روش­های مختلفی برای شناسایی ساختار درونی مواد وجود دارد که از کاربرد­های این روش­ها می­توان به تخمین مدول الاستیسیته، تخمین خرابی در جسم جامد الاستیک و آشکار سازی حفره زیر سطح اشاره نمود.

مهم­ترین مزیت روش المان­های مرزی در مقایسه با سایر روش­های عددی این است که معادلات انتگرالی حاصل، معادلات انتگرالی مرزی بوده لذا حل آن­ها تنها نیازمند افراز نمودن مرز مساله می­باشد این در مقایسه با روش­های دیگر همچون المان محدود و تفاضل محدود که نیازمند افراز نمودن کل دامنه می­باشند باعث کاهش بعد مسئله شده و به طور موثری کارایی محاسباتی را بالا می­برد. به عبارت دیگر در روش المان­های مرزی مسائل دو بعدی و سه بعدی به ترتیب به مسائل یک بعدی و دو بعدی تبدیل می­شوند.

در تحقیق حاضر، ابتدا معادلات الاستیسیته دو بعدی با روش المان­های مرزی [1] حل شده است. اولین گام در حل این معادلات بدست آوردن شکل تابع وزن می­باشد. جهت بدست آوردن شکل تابع وزن از تابع دلتای دیراک کمک گرفته شده است. این تابع وزن را اصطلاحاً تابع گرین مساله نیز می­نامند. با بدست آوردن شکل تابع وزن و تبدیل کلیه­ی انتگرال­های دامنه­ای به  انتگرال­های مرزی با استفاده از انتگرال گیری جزء به جزء ، شکل نهایی انتگرال­های مرزی بدست آمده و بعد از آن نسبت به حل معادلات انتگرال مرزی اقدام شده است. با توجه به هندسه ناحیه حل و المان بندی مسئله تعداد 4*N معادله بدست می­آید(N تعداد المان) که این تعداد در روش اختلاف محدود N^2  است. با حل این انتگرال­های مرزی برای المان­های انتخاب شده روی مرز دامنه­ی مورد بررسی، جواب کلی معادله بدست می­آید. تنها موردی که کاربرد این روش را مشکل می­نماید یا­فتن شکل تابع گرین در هر مساله جدید می­باشد.

برای حل معادله انتگرال مرزی ضمن گسسته کردن معادله، از روش قدم برداری زمانی با گام پیوسته استفاده شده است. در روش قدم برداری زمانی با گام پیوسته، زمان اولیه انتگرال گیری  t0 فرض می­شود و سپس برای هر گام زمانی انتگرال گیری لازم از معادلات انجام می­ 

خرید متن کامل این پایان نامه در سایت nefo.ir

 شود. لازم به توضیح است که انتگرال گیری برای زمان­های بعد مجدداً از زمان t0  شروع می­شود.

در ادامه باید ابتدا به حل مستقیم مسئله الاستیسیته دو بعدی به روش المان مرزی با استفاده از نوشتن کد کامپیوتری پرداخته و بعد از حل مستقیم، به حل معکوس معادله الاستیسیته دو بعدی پرداخته می­شود. در حل مسائل مستقیم، معادلات دیفرانسیل جزئی (PDE) عموما با مشخص بودن شرایط مرزی، شرایط اولیه و تمام مقادیر ثابت مربوط به خواص فیزیکی و شکل هندسی  ماده در معادلات حاکم، برای یک دامنه معین حل می­شوند. در مساله معکوس یک یا چند پارامتر که مربوط به مقادیر ثابت در شرایط مرزی، اولیه یا فیزیک مسئله هستند مجهول می­باشند که با استفاده از انتگرال گیری متغیرهای وابسته روی کرانه دامنه مذکور و با استفاده از روش بهینه سازی این پارمترهای مجهول تخمین زده می­شوند.

مسائل مستقیم جزء مسائل خوش وضع هستند.یک مسئله خوش وضع نامیده می­شود اگر دارای سه شرط زیر باشند:

• یک جواب برای مساله وجود داشته باشد(شرط وجود)

• جواب مساله یکتا باشد(یکتایی)

• جواب فقط به معلومات مساله وابسته باشد(پایداری)

مسائل معکوس جزء مسائل بد وضع طبقه بندی می­شوند و حداقل یکی از شرایط فوق را ندارد.

روش­های بهینه سازی متعددی برای حل مسایل معكوس وجود دارد. از رایج­ترین و قد­یمی­ترین روش های بهینه سازی، روش­های محلی است كه عمدتاً بر مبنای گرادیان تابع هدف كار می­كنند. با توجه به سرعت همگرایی بالا و تخمین خوب مقادیر مجهول عیب اصلی این روش­ها گیر افتادن در نقاط بهینه محلی و عدم حركت این الگوریتم­هاست .معمولا حدس اولیه مناسب و نزدیك به جواب راهكار مناسبی برای حل این مشكل می­باشد . علاوه بر این مسائل معكوس طراحی كه به منظور تخمین هندسه انجام می شود، بد وضع بوده و به شدت به خطاهای ورودی حساس می­باشند كه برای رفع این مشكل از توابع تنظیم استفاده می­شود. روش­های تنظیم متعددی برای حل مسائل معكوس وجود دارد كه از مهم­ترین آن­ها می­توان روش تنظیم تیخونوف [3] و روش تنظیم بك [4] را نام برد . گر چه  هر كدام از این روش ها دارای مزایایی است، ولی هیچ یك به طور قطعی موثر واقع نشده است.

از دیگر روش­های بهینه سازی روش­های همگانی هستند كه معمولا تصادفی بوده و با مقدار مستقیم تابع هدف سرو كار دارند. الگوریتم ژنتیك در زمره روش­های همگانی و تصادفی بوده كه برای تخمین پارامترهای مجهول چه برای مسائل خطی و چه برای مسائل غیر خطی به كار می رود. در [5] هندسه و موقعیت حفره درون یك قاب دوبعدی به وسیله تلفیق سه روش المان مرزی، الگوریتم ژنتیك و گرادیان مزدوج، با آزمایش كشش بررسی شده است. در این تحقیق سازگاری روش­های الگوریتم ژنتیك و گرادیان مزدوج با روش المان­های مرزی كاملاً مشهود است . مقاله حاضر یك جسم دو بعدی با یك حفره را مورد بررسی قرار داده، ولی روش بطور كلی محدودیتی ندارد . بسط به مسائل سه بعدی و سازه­های داخلی پیچیده­تر قابل بررسی می باشد .همچنین روش مطرح شده می تواند در زمینه انجام آزمایشات غیر مخرب كاربردی موثر داشته باشد.

در این پروژه پس از حل مستقیم مسئله الاستیسیته دوبعدی به روش المان­های مرزی برای بدست آوردن جابه­جایی­ها و ترکشن­ها، به حل معکوس مسئله پرداخته می­شود. برای حل مساله معکوس از الگوریتم بهینه سازی ژنتیک استفاده می­شود. این الگوریتم از یک روش بهینه سازی استفاده می­کند تا ساختار محیط را به وسیله مینیمم کردن یک تابع هدف مناسب بدست آورد. این تابع هدف خطای بین داده اندازه­گیری شده و داده تحلیلی را مدل می­کند. نوع الگوریتم بهینه سازی تابع هدف، بهینه سازی همگانی (الگوریتم ژنتیک) می­باشد.

سرعت الگوریتم محلی نسبت به نوع همگانی بیشتر است. در صورتی که این الگوریتم به درستی مقدار­دهی نشود ممکن است در مینیمم محلی گیر بیفتد که در این صورت الگوریتم به جواب نادرست می­رسد. برای رفع مشکلات الگوریتم محلی از الگوریتم بهینه سازی همگانی (الگوریتم ژنتیک) استفاده می­شود. این روش مزیت­هایی از قبیل توانایی جستجوی قوی، سادگی، تطبیق پذیری و غیر حساس بودن به حالت بد وضعی را دارا می­باشد. در عوض معایبی دارد از جمله اینکه نیاز به زمان زیاد جهت اجرا دارد.

[1] Elastostatic

[2] Boundary element method

[3] Genetic Algorithm

[4] Conjugate Gradient Method

[5] Simplex

[6] Tractions

[7] -Multi-Modality

[8] Ill pose

[9] Local optimization

[10]  Finite difference method(FDM)

[11]  Finite volume method(FVM)

[12]  Finite element method(FEM)

[13]  Boundary element method(BEM)

[14]  Partial Differential Equation)PDE(

[15] Well pose

[16] Ill pose