یکی از پدیده­های انتقال حرارت، جابجایی آزاد یا طبیعی است. تغییر چگالی­ای که بواسطه­­ی گرادیان دما ایجاد می­شود منجر به جاری شدن سیال می­گردد. حرکت سیال در جابجایی آزاد در مجاورت یک سطح در نتیجه­ی نیروهای شناوری است که به واسطه­ی گرادیان دما  اعمالی بر سیال در نزدیکی سطح و تغییرات چگالی سیال می­باشد. نیروهای شناوری که موجب جریان­های جابجایی آزاد می­شوند را نیروهای حجمی[1] می­گویند. تاریخچه­ی تحقیقات اولیه­ی که این جریان را در نظر گرفتند، به یک صده قبل باز می­گردد. از آن زمان تاکنون داده­ها، روابط و تحلیل­هایی که بر این جریان حاکم می­باشند با رشد فوق­العاده­ی افزایش پیدا کرده­اند. علاقه­ی بی­شماری که بشریت به این پدیده نشان می­دهد، بازتاب نیاز فوق­العاده­ی است که بشر به این پدیده­ی جالب و حیاتی احساس می­کرده است. اهمیت و تنوعی که در بکارگیری این پدیده در صنعت و محیط اطراف به چشم می­آید، نشان بر کاربرد گسترده­ی این پدیده دارد. این پدیده گاه به تنهایی و گاه با ترکیب شدن با سایر پدیده­های انتقال در انتقال حرارت و جرم بکار گرفته شده است.

با افزایش استفاده از این روش در سالیان اخیر محققین بنا به نیازی که احساس می­کردند، روش­های دیگری را از روش مربعات دیفرانسیل استخراج کردند که یکی از این روش­ها مربعات دیفرانسیل تکه­ای[9] است. این روش در مسایلی که تغییرات گرادیان متغییری شدید و یا در مسایلی با شرایط مرزی متغیر، کارایی بالایی دارد. ایده­ی روش مربعات دیفرانسیل تکه­ای در سال 2006 در مدل­سازی امواج در آب­های کم عمق بکار گرفته شد. اصول این روش بر پایه­ی تکه تکه کردن دامنه­ی محاسباتی بر زیر دامنه­ها و اعمال روش مربعات دیفرانسیل بر هر زیر دامنه است.

در این پایان نامه جریان جابجایی آزاد گذرا حول کره با ترکیب دو روش مربعات دیفرانسیل و مربعات دیفرانسیل تکه­ای مورد بررسی قرار گرفته شده است.

2-1- مروری بر کارهای گذشته

 در ادامه تعدادی از تحقیقاتی که جریان بر روی هندسه­هایی چون کره را بررسی کرده­اند، معرفی می­شوند. گارنر و گرفتن ]1[ به بررسی اثر انتقال جرم بر روی کره­ی غیر متخلخل پرداختند. آماتو و چی ]2[ به بررسی اثر جابجایی آزاد اطراف کره­ی غوطه­ور در آب پرداختند. برومهام و میهو]3[ جریان جابجایی آزاد هوا را بر روی کره بررسی کردند.  گیولا و کورنیش ]4[ با استفاده از روش عددی تفاضل محدود[1] به بررسی جریان و انتقال حرارت اطراف کره پرداختند. سینگاه و حسن ]5[ به بررسی جریان جابجایی آزاد در اطراف کره با گراشف­های پایین پرداختند.  هیوانگ و چن ]6[با استفاده از روش عددی تفاضل محدود اثر مکش و دمش بر روی کره را بررسی کردند. چن و چن ]7[جریان جابجایی آزاد سیال غیرنیوتنی اطراف کره و استوانه با استفاده از روش رانگ کوتا[2] مرتبه­ی چهار مورد مطالعه قرار دادند. جعفرپور و یووانوویچ  ]8[ با استفاده از سری­ها یک حل نیمه تحلیلی برای جریان جابجایی آزاد بر روی کره­ی همدما ارایه دادند. جیا و گوگس ]9[ جریان جابجایی آزاد اطراف کره­ی همدما را بررسی کردند. نظر و همکاران ]10[جریان جابجایی آزاد سیال میکروپولار[3] در اطراف کره با شار ثابت مطالعه کردند. ایشان با استفاده روش عددی کلرباکس[4] به حل این مساله پرداختند. نظر و همکاران ]11[ در ادامه کار قبل جریان جابجایی آزاد سیال میکروپولار در اطراف کره­ی همدما با استفاده از همان روش قبل بررسی کردند. مولا و همکاران ]12[ به بررسی اثر تولید حرارت بر جریان جابجایی آزاد در میدان مغناطیسی اطراف کره پرداختند. چنگ ]13[ انتقال حرارت و انتقال جرم جریان جابجایی آزاد اطراف کره­ در مجاورت سیال میکروپولار را با استفاده از روش جمع­آوری اسپیلاین مکعبی[5]  بررسی کرد. بگ و همکاران ]14[ به بررسی اثر جذب و تولید حرارت بر جابجایی آزاد اطراف کره درون میدان مغناطیسی که در محیط متخلخلی قرار دارد، پرداخته­اند.

تمامی تحقیقات بیان شده، جریان جابجایی آزاد اطراف کره در حالت دایم را بررسی کرده­اند. با توجه به اهمیت جریان در مدت زمانی که جریان به حالت دایم برسد و واقعی­تر بودن جریان گذرا این جریان مورد توجه پژوهشگرانی واقع شد. از جمله تحقیقاتی عددی یا آزمایشگاهی که جریان خارجی گذرا بر روی هندسه­های مختلف بررسی کرده­اند، می­توان به کارهای ]15-23[ اشاره کرد. از جمله پژوهش­هایی که به بررسی جریان جابجایی آزاد گذرا اطراف هندسه­هایی همچون کره پرداخته­اند می­توان به کارهای پژوهشگران زیر اشاره کرد. اینگهام و همکاران ]24[ به بررسی جریان جابجایی آزاد گذرا اطراف سطوح همدمای سه بعدی در گراشف­های بالا پرداختند. یان و همکاران ]25[ به بررسی جریان جابجایی آزاد گذرا اطراف کره در محیط متخلخل دارسی پرداختند و از روش تفاضل محدود برای مدلسازی خود استفاده کردند. سانو و مکینزو ]26[  جریان جابجایی گذرا را اطراف کره در محیط متخلخل در پکلت­های پایین بررسی کردند.  تخر و همکاران ]27[  به بررسی جریان جابجایی آزاد گذرا اطراف کره­ی چرخنده در سیال پرداختند و برای حل این مساله از تفاضل محدود کمک گرفتند. سلوتی و همکاران ]28[ به بررسی جریان جابجایی آزاد گذرا اطراف نقطه­ی سکون جسم سه بعدی که توسط سیالی خنک می­گردد، پرداختند. نیازمند و رینکسیزبولیت ]29[ به بررسی اثر دمش بر روی کره­ی چرخنده در سیال پرداختند. آنان از حجم محدود برای حل مساله­ی مذکور استفاده کردند. چن ]30[ به بررسی جابجایی آزاد گذرا در مابین کره­ی هم مرکز و خارج از مرکز با استفاده از روش تفاضل محدود پرداخت. سم اس و ازترک ]31[ به مدلسازی جریان جابجایی اجباری اطراف قطرات سوخت در حالت گذرا پرداختند. ایشان در این مدلسازی قطرات را با کره­های همدما مدل کردند و با کمک سری­ها این مساله را حل کردند. ینگ و همکارن ]32[ به بررسی جریان جابجایی آزاد گذرا اطراف کره­ی همدما پرداختند، ایشان برای حل این مساله از روش حجم محدود استفاده کردند. سایتو و همکاران ]33[  به بررسی جریان جابجایی آزاد گذرا اطراف کره  با شار ثابت پرداختند و از روش حجم محدود برای مدلسازی استفاده کردند. ژو و همکاران ]34[ با استفاده از روش هام[6] به ارایه­ی جوابی نیمه تحلیلی برای برای جریان جابجایی آزاد گذرا اطراف سطوح خمیده­ی سه­بعدی پرداخته­اند.

از طرفی اثر جریان جابجایی آزاد تحت میدان مغناطیسی مورد توجه پژوهش­های بسیاری با گرایش ژیوفیزیک واخترفیزیک شده است. چنین مساله­ی در بررسی فرمول­های ژیوفیزیکی، اکتشاف و استحصال نفت، مراکز نگهداری زباله­های زیر زمینی و … می­باشد. از طرفی جریان­های مگنتوهیدرودینامیک[7] در مسایل مهندسی مثل سرمایش ژنراتورها، طراحی مبدل­های حرارتی، سرمایش راکتورهای هسته­ی با سدیم مایع، جریان سنج­های القایی که بر اساس تفاضل پتانسیلی عمود بر جهت حرکت جریان در سیال و میدان مغناطیسی کار می­کنند،کاربرد دارند. پژوهشگران ]35-38[ از جمله پژوهشگرانی هستند که اثر میدان مغناطیسی بر جریان دایم روی هندسه های مختلف را بررسی کرده­اند. در زمینه­ اثر میدان مغناطیسی بر جابجایی آزاد گذرا می­توان به کار­های زیر اشاره کرد. هلمی]39[ به مطالعه­ی جریان جابجایی آزاد گذرا در محیط متخلخل بر روی صفحه­ی عمودی با دمای ثابت با استفاده از روش تفاضل محدود پرداخت. تخر ]40[  به مطالعه جریان جابجایی مرکب بر روی مخروط چرخنده با سرعت زاویه­ی متناسب با زمان در حضور میدان مغناطیسی پرداخت. وی از تفاضل محدود برای حل عددی خویش استفاده کرد. گانسن و پلانی ]41[  جریان جابجایی آزاد بر روی صفحه­ی نیمه بی نهایت عمودی درمیدان مغناطیسی را با استفاده از تفاضل محدود بررسی کردند. گانسن و پلانی ]42[ مساله انتقال حرارت و انتقال جرم جریان جابجایی آزاد گذرنده از روی یک صفحه­ی شیبدار با استفاده از تفاضل محدود را بررسی کردند. روی و انیکامور ]43[ به بررسی جابجایی مرکب گذرا از مخروط دوار که سرعت زاویه­ی آن متناسب با زمان تغییر می­کند، پرداختند و در این حل از روش عددی تفاضل محدود کمک گرفتند. جردن ]44[ اثر اتلافات ویسکوز و تشعشع بر جریان جابجایی آزاد گذرا از روی صفحه­ی نیمه بی­نهایت عمودی مورد مطالعه قرار داد. وی از روش شبیه­سازی شبکه[8] استفاده کرد. ژو و همکاران ]45[ جریان و انتقال حرارت گذرای درون لایه­ی مرزی سیال بر روی صفحه­ی تحت میدان مغناطیسی بررسی کردند. ایشان با استفاده از روش هام برای ارایه­ی یک حل نیمه تحلیلی در رابطه با این مساله کمک گرفتند. الکبیر و همکاران ]46[ به بررسی جریان جابجایی آزاد از روی سطح شیب­دار درمحیط متخلخل تحت میدان مغناطیسی با استفاده از تحلیل لای گروپ[9] که یک روش نیمه تحلیلی برای حل معادلات پاره­ی است، پرداختند. دیناروند و همکاران ]47[ اثر نیروی بویانسی و میدان مغناطیسی را بر جریان گذرای لایه­ی لزج اطراف نقطه­ی سکون کره­ی چرخنده بررسی کردند. ایشان از روش هام برای حل این مساله کمک گرفتند.

اثر تولید حرارت در جریان سیال دارای حرکت در  برخی از فرایندهای فیزیکی از اهمیت شایانی برخوردار است که از آن جمله می توان به فرایندهای که حاوی واکنش های شیمیایی می باشند اشاره کرد. این اثر بر روی توزیع دما و نرخ ته نشینی ذرات اثر می­گذارد. که کاربرد این اثر را می­توان در کاربردهای مرتبط با راکتورهای هسته­ای، مدلسازی احتراق، چیپ­های الکترونیکی و… مشاهده کرد. واجراولو و هاجینیکلو ]48[ اثر اتلافات ویسکوز و تولید حرارت داخلی بر انتقال حرارت درون لایه­ی مرزی دایم بر روی صفحه­ی بی­نهایت را مورد مطالعه قرار دادند. در این تحقیق ایشان نرخ انتقال حرارت حجمی را به صورت تابع خطی با دما تقریب زدند.

 همچنین ایشان در مقاله­یشان گزارش داده­اند که تقریب خطی با دما در تقریب  برخی از فرایندهای گرمازا معتبر است. سایر محققینی که در زیر به کارهای آنها اشاره می­کنیم از جمله پژوهشگرانی هستند که بطور مستقیم و یا غیر مستقیم از مدل نرخ انتقال حرارت حجمی ]48[ استفاده کرده­اند. چمخواه ]49[ اثر تشعشع و نیروی بویانسی را بر روی صفحه­ی مشبک با تولید و یا جذب حرارت بررسی کرد و از روش تفاضل محدود در حل این مساله استفاده کرد. یه ]50[ به بررسی اثر تولید حرارت در محیط متخلخل اطراف کره مشبک درون میدان 

خرید متن کامل این پایان نامه در سایت nefo.ir

  مغناطیسی همراه با اتلافات ویسکوز و اتلافات ژول پرداخت. ایشان روش حل خود را بر مبنای کلرباکس قرار دادند. کامل ]51[ بحث انتقال حرارت و انتقال جرم گذرا بر روی صفحه­ی مشبک عمودی در محیط متخلخل تحت میدان مغناطیسی همرا با ترم تولید و جذب حرارت را مورد مطالعه قرار دادند. وی با استفاده از روش لاپلاس ترانسفورم[10] به ارایه­ی یک حل تحلیلی برای مساله­ی مذکور پرداخت. چمخواه ]52[ جریان سیال تحت میدان مغناطیسی بر روی صفحه­ی عمودی با در نظر گرفتن تولید و جذب حرارت و واکنش شیمیایی مرتبه­ی  اول را مورد مطالعه قرار داد. وی این مساله را کاملا تحلیلی حل می­کند. ابوذهب و سالم ]53[ جریان جابجایی آزاد سیال غیرنیوتنی در میدان مغناطیسی بر روی صفحه بررسی کردند. مولا و همکاران ]54[ جریان جابجایی آزاد اطراف کره­ی همدما درمیدان مغناطیسی با در نظر گرفتن تولید حرارت را بررسی کردند. ایشان از روش کلرباکس برای حل این مساله بهره گرفتند. مولا و همکاران ]55[ در کار دیگری اثر تولید حرارت بر جریان جابجایی آزاد اطراف کره با شار ثابت در میدان مغناطیسی را بررسی کردند. روش حل در این مساله نیز کلرباکس انتخاب شده است. مولا و همکاران ]56[ جریان جابجایی آزاد اطراف استوانه­ی افقی همدما را با در نظر گرفتن ترم تولید حرارت را بررسی کردند. ایشان از دو روش نیمه تحلیلی(سری­) و عددی (بر مبنای تفاضل محدود) به مطالعه­ی جریان پرداختند. هادی و همکاران ]57[ به بررسی اثر تولید و جذب حرارت بر جریان جابجایی آزاد گذرنده از یک صفحه­ی عمودی موجدار پرداختند. ایشان از رانگ­-کوتا برای حل این مساله کمک گرفتند. عالم و همکاران ]58[ اثر تولید حرارت در اطراف کره­ی درون میدان مغناطیسی را مورد مطالعه قرار دادند. برای حل این مساله از کلرباکس کمک گرفتند. محمد و همکاران ]59[ اثر تولید حرارت بر جریان سیال بر روی صفحه درون محیط متخلخل را بررسی کردند.ایشان از اصول المان محدود[11] برای حل مساله­ی مذکور استفاده کردند. ابدالخالک ]60[ اثر تولید حرارت بر جریات سیال درون محیط متخلخل تحت میدان مغناطیسی بر در حوالی نقطه­ی سکون اجسام دوبعدی را بررسی کرد. وی از روش اغتشاشات[12] برای حل این مساله کمک گرفت. مامون و همکاران ]61[ اثر اتلافات ویسکوز و تولید حرارت را بر انتقال حرارت از صفحه­ی عمودی در سیال تحت میدان مغناطیسی را بررسی کردند. ایشان از روش کلرباکس برای حل این مساله کمک گرفتند. ابراهیم و همکاران ]62[ مساله­ی جریان جابجایی آزاد گذرا از صفحه­ی مشبک تحت میدان مغناطیسی همراه با واکنش شیمیایی و تولید حرارت را به صورت تحلیلی حل نمودند. مولا و همکاران ]63[ جریان جابجایی آزاد اطراف استوانه­ی افقی شارثابت را با در نظر گرفتن ترم تولید حرارت را بررسی کردند. ایشان از دو روش نیمه تحلیلی(سری­) و عددی (برمبنای تفاضل محدود) به مطالعه­ی جریان پرداختند.

در تحقیقات ذکر شده لزجت سیال ثابت در نظر گرفته شده است. واضح است که ثابت گرفتن لزجت سیال تنها فرضی به منظور ساده­سازی معادلات می­باشد و از لحاظ فیزیکی در اکثر قریب به اتفاق موارد این فرض صحیح نمی­باشد. پس محققین به ناچار برای پیدا کردن حل دقیق­تر و فیزیکی­تر جریان به جستجوی مدل­هایی برای پیش­بینی تغییرات لزجت سیال افتادند. از طرفی با توجه به تغییرات شدیدتری که لزجت سیال با تغییرات دما نسبت به سایر پارامترها از خود نشان می­دهد در بیشتر مدل­های در نظر گرفته شده تغییرات لزجت با دما را مشهودتر مورد بررسی قرار داده­اند. در نهایت مدل­های متفاوتی برای مدل­سازی لزجت متغیر سیال در نظر گرفته شده است. که این مدل­ها بسته به نوع سیال و خواص فیزیکی ­آن با هم متفاوت هستند. از جمله­ی این مدل­ها می­توان به مدل تغییرات نمایی لزجت با دما که در پژوهش­های ]64-68[ و یا مدل تغییرات خطی لزجت با دما که در  ]69-75[ بکار گرفته شده است اشاره کرد. مدل پرکاربرد دیگری که تغییرات لزجت با دما را به خوبی نشان می­دهد و در اکثر پژوهش­ها از آن استفاده شده است، مدل تغییر لزجت با تابع  معکوس خطی تغییرات دما است. از جمله کارهایی که در این زمینه انجام شده است می­توان به کارهای این پژوهشگران اشاره کرد. یاو و کاتن ]76[  اثر ویسکوزیته­ی متغیر بر لایه­ی مرزی­ آب را روی استوانه­ی افقی بررسی کردند. ایشان از تفاضل محدود در مدل­سازی خود استفاده کردند. لینگ و دایب ]77[ اثر تغییرات ویسکوزیته را بر جابجایی اجباری از روی صفحه­ی تخت درون محیط متخلخل را بررسی کردند. ایشان از جمله­ی اولین محققینی بودند که از این مدل برای طیف متنوعی از سیالات استفاده کردند و در مدل خود از تفاضل محدود استفاده کردند. کار ایشان الگوی سایر محقیقین برای مدل کردن تغییرات لزجت با دما قرار گرفت که در سایر کارهایی که در زیر به آنها اشاره می­شود به طور مستقیم و یا غیر مستقیم از ]77[ استفاده کردند. جایانثی و کوماری ]78[ اثر ویسکوزیته­ی متغیر را بر روی جابجایی آزاد و مرکب در محیط متخلخل بصورت عددی با استفاده از کلرباکس مورد مطالعه قرار دادند. چنگ ]79[ اثر ویسکوزیته­ی متغیر را بر جابجایی آزاد بر روی استوانه­ی افقی همدما را بررسی کرد. وی از روش مجموعه­ی اسپیلاین مکعبی  برای حل این مساله استفاده کرد. مولا و حسین ]80[  به بررسی اثر ویسکوزیته­ی متغیر بر انتقال حرارت و انتقال جرم جابجایی آزاد از کره­ی همدما با استفاده از کلرباکس پرداختند. افیفی ]81[ به بررسی اثر ویسکوزیته­ی متغیر بر جابجایی آزاد از روی صفحه­ی عمودی درون محیط متخلخل تحت میدان مغناطیسی پرداخت. وی از متد تفاضل محدود برای حل معادلات پاره­ای استفاده کرد. چین و همکارن ]82[ اثر ویسکوزیته­ی متغیر را بر روی جابجایی مرکب از صفحه­ی عمودی درون محیط متخلخل بررسی کردند. ایشان برای حل معادلات لایه­ی مرزی از روش تفاضل محدود کمک گرفتند. چنگ ]83[  با استفاده از روش مجموعه­ی اسپیلاین مکعبی به بررسی اثر ویسکوزیته­ی متغیر بر جریان روی مخروط ناقص عمودی که در محیط متخلخل قرار دارد، پرداخت. احمد و همکاران ]84[ با استفاده از روش کلرباکس به حل معادلات پاره­ی لایه­ی مرزی جریان جابجایی مرکب اطراف استوانه­ی همدمای افقی با ویسکوزیته­ی متغیر با دما پرداختند.

از طرف دیگر ثابت گرفتن هدایت حرارتی سیال فرضی به منظور ساده­سازی معادلات حاکم بر جریان می­باشد و با یک سری فرضیات این تقریب می­تواند درست باشد اما از لحاظ فیزیکی در قریب به اتفاق موارد این فرض صحیح نمی­باشد. پس محققین برای بدست آوردن حل فیزیکی­تر جریان سعی در به دست آوردن مدلی به منظور تعیین تغییرات هدایت حرارتی سیال با دما کردند. از جمله مدلی که در این پیش بینی بسیار توسط محققین بکار گرفته شده است، مدل تغییر هدایت حرارتی سیال با دما به صورت خطی می­باشد که سلاتری ]85[ برای طیف وسیعی از سیالات آنرا پیشنهاد می­دهد.

[1] Finite Diffrence

[2] Rung-kuta

[3] micropolar

[4] Keller-box

[5] cubic spilin collection

[6] HAM(Homotopy analysis method)

[7] MHD (Magnetohydrodynamic)

[8]  ­network simulation method

[9] lie group analysis

[10] Laplace transform

[11] Finite element

[12] Perturbation method

[1] Body force

[2] Closed form

[3] Finite element

[4] Finite difference

[5] Finite volume

[6] Spectral method

[7] Differential quadrature method (DQM)