انتشار امواج[1] در یک محیط ناشی از بارگذاری خارجی از جمله مباحثی بوده است که در قرن گذشته بسیاری از محققان و مهندسان در زمینه ریاضیات کاربردی و مکانیک مهندسی را به ‌‌خود جلب کرده است. انتشار امواج در یک محیط ارتجاعی به ‌معنی انتقال تغییر شکل از یک نقطه به ‌نقطه دیگر می‌باشد. بر اساس اصول مکانیک محیط‌های پیوسته، تغییرشکل‌ها مولد تنش‌ها می‌باشند. بنابراین به‌همراه انتقال تغییر شکل‌ها، تنش‌ها نیز از یک نقطه به ‌نقطه دیگر منتقل می‌شوند. به‌همین علت گاهی انتشار امواج در محیط ارتجاعی به‌نام انتشار امواج تنشی[2] نیز نامیده می‌شود. مقاله پایه‌ای در زمینه انتشار امواج مربوط به ‌لمب (Lamb) در سال 1904 می‌باشد [1]. او در این مقاله، انتشار امواج ناشی از یک بار هارمونیک وارد بر یک محیط ایزوتروپ و ارتجاعی نیمه بینهایت را در دو حالت دو بعدی و سه بعدی بررسی کرده و میدان تغییرمکان آنها را به‌دست آورده است. در این مقاله نیروی متمرکز بر حسب زمان  به‌صورت تک هارمونیکی در نظر گرفته شده است به‌طوری که  فرکانس تغییرات نیرو بر حسب زمان می‌باشد. به‌علت تغییرات هارمونیکی محرک (نیروی)، پاسخ سیستم شامل میدان‌های تغییرمکان، کرنش و تنش نیز به‌صورت هارمونیکی بر حسب زمان تغییر می‌کنند1، به‌همین علت جمله  از معادلات حرکت در غیاب نیروهای حجمی حذف شده و معادلات حرکت به‌صورت مستقل از زمان و وابسته به‌  نوشته می‌شوند. در این حالت مسأله انتشار امواج در فضای فرکانسی حل می‌شود. به‌علت حذف متغیر زمان، معادلات حرکت به ‌دستگاه معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی نسبت به ‌مکان تبدیل شده و در صورتی‌كه محیط ایزوتروپ باشد تجزیه هلمهولتز همواره این دستگاه معادلات را به‌ معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی و مستقل از یکدیگر تبدیل می‌کند. معادلات حاکم بر توابع هلمهولتز، معادلات موج بوده که وابسته به دستگاه مختصات می­تواند با استفاده از روش فوریه (جداسازی متغیرها) و تبدیل هنکل3 و یا روش های دیگر حل شوند. لمب با استفاده از تبدیل انتگرالی هنکل معادلات حرکت را در حالت سه بعدی حل کرده است [1].

یکی از دلایل استفاده از تبدیلات در حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی کاهش متغیرهای مستقل معادله وتبدیل آن به ‌معادله دیفرانسیل معمولی می‌باشد [17]. در حل مسائل مربوط به ‌محیط‌های نا‌متناهی، معمولاً شرایط مرزی به‌صورت توابع قطعه‌ای پیوسته[1] وجود دارند و تبدیلات انتگرالی[2] این شرایط را به‌صورت توابع پیوسته در فضای تبدیل یافته[3] در می‌آورند. این موضوع یکی دیگر از دلایل استفاده از تبدیلات انتگرالی می‌باشد، چه در غیر این صورت شرایط مرزی به‌صورت مختلط و پیچیده در می‌آیند .

بعد از لمب محققان زیادی در زمینه انتشار امواج در محیط‌های ایزوتروپ تحقیق کرده‌اند و تحقیقات گسترده‌ای را ارائه کرده‌اند که از آن جمله می‌توان اشخاص زیر را برشمرد:

انتشار امواج در محیط‌های ناهمسان[4] در گذشته كمتر مورد توجه قرار گرفته است. در حال حاضر با توجه به ‌استفاده روز افزون از مواد ناهمسان نیاز به ‌تحقیقات در زمینه انتشار امواج در این محیط‌ها بیشتر احساس می‌شود. برای مثال مواد کامپوزیت که در سال‌های اخیر در زمینه علوم مهندسی کاربرد گسترده‌ای یافته‌اند دارای خاصیت نا‌همسانی می‌باشند. از سوی دیگر در زمین‌هایی که خاک تحت اثر نیروی ثقل رسوب کرده است و نهشته‌های طبیعی سربار شده روی هم تشکیل داده است، خاصیت ناهمـسانی وجود دارد.

اما با توجه به ‌ملاحظات کاربردی در زمینه مهندسی محیط‌های ناهمسان معمولاً به‌صورت ایزوتروپ جانبی[5] و یا ارتوتروپیك[6] مدل‌سازی 

خرید متن کامل این پایان نامه در سایت nefo.ir

  می‌شوند. یکی از بررسی‌های اولیه در زمینه انتشار امواج در محیط‌های ایزوتروپ جانبی توسط Stoneley در سال 1949 انجام گرفته است [2]. او نشان داد که وجود مواد با خاصیت ایزوتروپ جانبی می‌تواند منجر به ‌تفاوت‌های قابل توجـهی در زمینه انــتشار امواج نسبت به ‌مواد ایزوتروپ گـردد.

Synge در سال 1957، انتشار امواج ریلی[7] در محیط‌های ایزوتروپ جانبی را بررسی کرده است و نتیجه گرفته که این امواج فقط در صورتی در این محیط‌ها منتشر می‌شوند که محور ایزوتروپی محیط یا عمود بر سطح آزاد و یا موازی این سطح باشد [3]. همچنین او بیان داشته است که امواج ریلی معمولی (در محیط‌های ایزوتروپ) موازی سطح آزاد محیط منتـشر می‌شوند در حالی‌که امواج ریلی کلی (در محیـط‌های نا‌ایزوتروپ) می‌توانند با شیب نسبت به ‌سطح آزاد منتشر شوند [3].

Rajapakse و Wang در سال1991 تغییرمکان‌ها و تنش‌های ناشی از ارتعاش هارمونیک یک جسم صلب در یک محیط ارتوتروپ دو بعدی را به‌دست آورده‌اند [4]. همچنین آنها تغییرمکان‌ها و تنش‌های ناشی از ارتعاش هارمونیک نیروی موثر بر پیرامون یک دایره مدفون در یک محیط ایزوتروپ جانبی را در حالت سه بعدی تعیین کرده‌اند [5]. در این مقاله، آنها دستگاه معادلات حرکت را با استفاده از سه تابع پتانسیل به ‌دو معادله درگیر[8] و یک معادله مستقل تبدیل کرده و بدون اثبات كامل بودن توابع پتانسیل اختیار شده معادلات به‌دست آمده را با استفاده از تبدیلات انتگرالی حل کرده‌اند.

رحیمیان و همكاران [16] مسأله لمب را برای محیط ایزوتروپ جانبی پیگیری كرده و معادلات حركت را با استفاده از توابع پتانسیل اسكندری قادی [7] به‌صورت مستقل در‌آوردند. معادلات به‌دست آمده از توابع پتانسیل را به ‌كمك سری فوریه در امتداد زاویه‌ای و تبدیل هنكل در امتداد شعاعی در یك دستگاه مختصات استوانه‌ای حل كردند. اسكندری قادی و همكاران [8] نیز یك نیم‌فضای ایزوتروپ جانبی متشكل از یك لایه فوقانی و یك محیط نیمه بی‌نهایت تحتانی با رفتار ایزوتروپ جانبی تحت اثر نیروهای سطحی هارمونیكی را تجزیه وتحلیل كرده و با استفاده از توابع پتانسیل ارائه شده توسط اسكندری قادی حل كرده­اند.

تعیین توابع امپدانس مربوط به شالوده های مستقر بر محیط نیم بینهایت از مسائلی است كه مورد توجه مهندسین ساختمان و محققین ریاضی كاربردی بوده است. اسكندری قادی و همكاران در سال های 2010، 2011 و 2012 توابع امپدانس قائم و خمشی شالوده دایره­ای صلب مستقر بر محیط ایزوتروپ جانبی به روش تحلیلی و با حل معادلات انتگرالی دوگانه حل كرده­اند. همچنین اسكندری قادی و همكاران توابع امپدانس افقی و خمشی را برای شالوده صلب مستطیلی مستقر بر محیط ایزوتروپ جانبی را با فرض شرایط مرزی مستقل و به كمك تركیب روش های تحلیلی و عددی به­دست آورده­اند.

 در این پایان‌نامه در ابتدا معادلات حاكم شامل معادلات تعادل، روابط تنش-كرنش یا معادلات رفتاری و روابط كرنش-تغییرمكان در سیستم مختصات استوانه‌ای بیان شده و در ادامه معادلات حرکت بر حسب مولفه‌های بردار تغییرمکان به‌دست می‌آیند. این معادلات یك دسته معادلات دیفرانسیل درگیر با مشتقات جزئی می‌باشند كه برای مجزا‌سازی آنها از توابع پتانسیل ارائه شده توسط اسكندری قادی در سال 2005 استفاده می‌شود. در ادامه به ‌كمك سری فوریه و تبدیل هنکل توابع پتانسیل در فضای تبدیل یافته به‌دست می‌آیند.

1 piecewise continuous  function

2 Integral transforms

3 Transformed domain

1 Anisotropic

2 Transversely isotropic

3 Orthotropic

4 Rayleigh waves

5 Coupled

1 Waves Propagation

2 Stress waves propagation

1 Eringen, A.C. and suhubi, E.S.(1975), Elastodynamics, vol. II, Academic Press, New York.

2 Fourier method

3 Hankel transform

1 Impedance function

2 Potential function

3 Adaptive Gradient Element

4 Luco